Métodos De RUNGE KUTTA

Los Metodos De Runge Kutta Logran La Exactitud De Las Series De  taylo Sin Necesitar El Calculo De Derivadad De Orden Superior.                                                                                                                                                            

Es Posible Tener Varios Metodos De Ringe Kutta Empleando Deferente Numero              De Terminos En La Funcion Incremento Especificada Por n   El Metodo De Runge Kutta De Primer Orden Es De Hecho El Metodo De Euler.                                                                                                                                                   

Existen Muchas Variantes, Pero Todas Tienen La Forma Generalizada De La Ecuacion:                    

Donde Se Reconoce Como Funcion Incremento, La Cual Puede Interpretarse Como Una Pendiente Representativa En El Intervalo. La Funcion Incremento Se Escribe En Forma General Como:Donde Las a son Constantes Y Las k Se Definen Por:                                                                                                                                                               

Donde Las p y Las q Son Constantes. Observe Que Las k Son relaciones De recurrencia. Es Decir, k1 Aparece

                En La Ecuacion k2, La Cual Aparece En La Ecuacion k3.

Las Variantes Mas Comunes Al Metodo De RUNGE KUTTA Son HEUN, PUNTO MEDIO Y                  Ralston

Ejercicio

Utilizar Los Metodos Del Punto Medio, y De Ralston Para Integrar Numericamente  La Ecuacion

                Desde x=0 Hasta x=4, Usando Un Tamaño De Paso De 0.5. La ecuacion Inicial Es De x=0 y=1

                Comprobar Los Valores Obtenidos Usando HEUN De 2do Orden Sin Iteracion Del Corrector

                El Primer Paso En El Metodo De Punto Medio Consiste En Usar La Ecuacion

                k1=−2(0)^3+12(0)^2–20(0)+8.5                                 k1=8.5  

                En Seguida Calculamos k2                                                            

                xi+1/2h=0+(1/2)(0.5)                      yi+(1/2)(8.5)(0.5)                            

                0.25                        3.125                    

                k2=−2*(0.25)^3+12*(0.25)^2–20(0.25)+8.5                                          k2=         4.21875

                La Pendiente En El Punto Medio Entonces se Sustituye En La Ecuacion Siguiente                                                               

                yi+1=1+4.21875*0.5                        yi+1=     3.1094  

                x              y Real    y Punto Medio  k1           k2

                0              1              1              8.5          4.21875

                0.5          3.21875 3.1094   1.25        −0.59375

                1              3              2.8125   −1.5       −1.65625

                1.5          2.21875 1.984375              −1.25     −0.46875

                2              2              1.75        0.5          1.46875

                2.5          2.71875 2.484375              2.25        2.65625

                3              4              3.8125   2.5          1.59375

                3.5          4.71875 4.609375              −0.25     −3.21875

                4              3              3              −7.5       −13.28125