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sábado, 9 de octubre de 2010

Origen De Las Ecuaciones Diferenciales (Modelos Físicos)

Modelos Físicos, Modelos Matemáticos
Cualquier tentativa de diseño de diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente.
Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción se le llama modelo matemático. Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.


Conjunto Fundamental De Soluciones
Todo conjunto y1, y2,...,yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
Dependencia O Independencia Lineal
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que
C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ecuación Auxiliar
Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden
ay + by + cy = 0 (2)
Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y y = m2emx , de modo que la ecuación (2) se transforma en
am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx(am2 + bm + c) = 0
Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática
am2 + bm + c = 0
Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.
Solución de ecuaciones.
Sistema de ecuaciones.
Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. una o más soluciones comunes.
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Hay exactamente una solución.
Un número infinito de soluciones.
No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

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